Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que o algoritmo de Floyd–Warshall calcula, e com que rapidez?

  1. AUma árvore geradora mínima em O(E log V)
  2. BUma ordenação topológica em O(V²)
  3. CCaminhos mínimos de um vértice de origem para todos os outros em O(V + E)
  4. DCaminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe NP está correta?

  1. AProblemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
  2. BProblemas que não podem ser resolvidos em tempo polinomial
  3. CProblemas que não são polinomiais
  4. DProblemas que nenhum algoritmo consegue resolver
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. AQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
  2. BAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
  3. CBusca em tempo constante em todos os casos
  4. DQue nenhum nó tenha dois filhos
4.Estruturas de dadosDifícil

Sem união por posto nem compressão de caminho, qual é o custo no pior caso de um único find em uma estrutura union-find com n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em F? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)

Porque é esta a resposta

Floyd–Warshall é um algoritmo de programação dinâmica que permite cada vértice, um de cada vez, como ponto intermediário, usando tempo O(V³).

Resposta

D · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado

Porque é esta a resposta

Num problema NP, uma solução proposta (certificado) pode ser verificada rapidamente, por exemplo, verificar se uma atribuição dada satisfaz uma fórmula booleana.

Resposta

A · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

B · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Uniões ingênuas podem ligar as árvores em uma longa cadeia, então o find pode seguir n − 1 ponteiros para o pai; as duas heurísticas o deixam perto de constante.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

B, C → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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