Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. AA árvore geradora mínima
  2. BUma ordenação topológica em todos os grafos
  3. CCaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
  4. DCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. A2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  2. Bn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Quantos nós tem uma árvore binária perfeita de altura h, com a altura contada em arestas?

  1. A2h
  2. Bh2
  3. C2h + 1
  4. D2h+1 − 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que árvores B (B-trees) são usadas em bancos de dados e sistemas de arquivos?

  1. ASeu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
  2. BElas armazenam os dados sem ordenação
  3. CElas não precisam de rebalanceamento
  4. DElas usam menos memória que qualquer array, então o índice inteiro sempre cabe na memória principal
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
415127147610ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

C · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

D · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 2h+1 − 1

Porque é esta a resposta

Somar 1 + 2 + 4 + ... + 2h dá 2h+1 − 1; por exemplo, altura 2 dá 7 nós.

Resposta

D · 2h+1 − 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco

Porque é esta a resposta

Árvores B armazenam muitas chaves por nó, então a altura é pequena e poucas leituras de blocos são necessárias por busca; árvores B+ também ligam as folhas para varreduras por intervalo.

Resposta

A · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Resposta

L = 10

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 4, C: 15
2. B (4): D: 11, E: 14
3. D (11): F: 17
4. E (14)
5. C (15)
6. F (17)

rodada 3

D

Resposta

D

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