Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. ASAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  2. B2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
  3. C3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  4. DSatisfatibilidade de circuitos
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. ATodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  2. BAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
  3. CAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  4. DTodo nó é colorido de vermelho ou preto
4.Estruturas de dadosDifícil

A estrutura union-find (conjuntos disjuntos) com união por posto e compressão de caminho tem custo amortizado por operação de:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
  4. DExatamente O(log n)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
41212614147ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Há n níveis com trabalho constante cada, como numa soma recursiva de um array.

Resposta

A · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: C · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

C · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante

Porque é esta a resposta

Com as duas otimizações, as operações levam tempo amortizado O(α(n)); α(n) ≤ 4 para qualquer n realista.

Resposta

C · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices ímpares

A, B, C, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 4, C: 12
2. B (4): C: 5, E: 11
3. C (5): E: 7
4. E (7): D: 13, F: 21
5. D (13)
6. F (21)

rodada 4

E

Resposta

E

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