Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do algoritmo padrão de programação dinâmica para a maior subsequência comum de strings de comprimentos m e n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como n! e 2ⁿ se comparam para n grande?

  1. An! é O(n²)
  2. BCrescem no mesmo ritmo
  3. C2ⁿ cresce mais rápido que n!
  4. Dn! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dadosMédia

Uma aplicação precisa de buscas rápidas e também de listar as chaves em ordem e responder a consultas por intervalo. Qual estrutura é a mais adequada?

  1. AUma lista encadeada não ordenada
  2. BUma árvore binária de busca balanceada
  3. CUma pilha
  4. DUma tabela hash
4.Estruturas de dadosDifícil

Um filtro de Bloom pode responder "este elemento está no conjunto?" com:

  1. ARespostas apenas para números
  2. BPossíveis falsos negativos, mas nenhum falso positivo
  3. CPossíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
  4. DRespostas sempre exatas
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
18105142161281ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(mn)

Porque é esta a resposta

A tabela tem (m + 1)(n + 1) células, e cada uma é calculada em O(1) a partir das vizinhas.

Resposta

D · O(mn)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · n! cresce mais rápido que 2ⁿ

Porque é esta a resposta

Para n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e a razão cresce sem limite porque cada fator extra de n! é maior que 2.

Resposta

D · n! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma árvore binária de busca balanceada

Porque é esta a resposta

Uma BST balanceada dá buscas em O(log n) e mantém as chaves ordenadas, então o percurso em ordem e as consultas por intervalo são fáceis; uma tabela hash espalha as chaves.

Resposta

B · Uma árvore binária de busca balanceada
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo

Porque é esta a resposta

Se algum bit de um item for 0, ele certamente não está presente; se todos forem 1, provavelmente está. Filtros de Bloom trocam precisão por um uso muito pequeno de memória.

Resposta

C · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices ímpares

A, C, D, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 48

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GD (1): tomar
DF (2): tomar
BD (5): tomar
GC (8): tomar
BC (10): descartar, fecha um ciclo
GB (12): descartar, fecha um ciclo
CE (14): tomar
EF (16): descartar, fecha um ciclo
AB (18): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 5 + 8 + 14 + 18 = 48

Resposta

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms