Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Aproximadamente quantas comparações a busca binária precisa no pior caso num array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. ACerca de 1,000
  2. BCerca de 500,000
  3. CCerca de 100
  4. DCerca de 20
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe NP está correta?

  1. AProblemas que não são polinomiais
  2. BProblemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
  3. CProblemas que nenhum algoritmo consegue resolver
  4. DProblemas que não podem ser resolvidos em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V × E)
  2. BO(E²)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. APré-ordem e pós-ordem
  2. BPré-ordem e em ordem
  3. CSó o percurso por níveis
  4. DSó a pré-ordem
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
134315135198ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Cerca de 20

Porque é esta a resposta

220 ≈ 1,048,576, então após cerca de 20 divisões pela metade resta só um elemento.

Resposta

D · Cerca de 20
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado

Porque é esta a resposta

Num problema NP, uma solução proposta (certificado) pode ser verificada rapidamente, por exemplo, verificar se uma atribuição dada satisfaz uma fórmula booleana.

Resposta

B · Problemas de decisão cujas respostas "sim" podem ser verificadas em tempo polinomial dado um certificado
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

D · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

B · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 15

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 23 = 2(L + 5) − 2
L = 15

Resposta

L = 15

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 13, C: 4
2. C (4): B: 7, E: 17
3. B (7): D: 22, E: 15
4. E (15): D: 20, F: 24
5. D (20): F: 21
6. F (21)

rodada 3

B

Resposta

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms