Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. AUm único laço
  2. BNenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  3. CApenas entradas aleatórias
  4. DSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) faça trabalho O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. Alog₂ n
  2. B√n
  3. Cn (ela vira uma lista encadeada)
  4. D1
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
  2. BGuarda só a primeira letra de cada palavra
  3. COrdena os filhos de cada nó por frequência
  4. DArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1311291061010ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

D · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O total é n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e o número harmônico Hn é Θ(log n).

Resposta

C · O(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

C · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

A · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 21

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 13, C: 1
C (1): E: 11
E (11): F: 21
B (13): D: 22
F (21)
D (22)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 21

Resposta

d(F) = 21

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