Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um quicksort usa sempre o primeiro elemento como pivô. Com qual entrada ele apresenta o comportamento de pior caso?

  1. AUm array em ordem aleatória
  2. BUm array que já está ordenado
  3. CUm array de tamanho 2
  4. DUm array com todos os elementos diferentes
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), mas n não é o(n)
  3. Cn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  4. D2n = o(n), porque 2n cresce devagar
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a complexidade de tempo da busca de uma chave em uma árvore binária de busca balanceada?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
4.Estruturas de dadosDifícil

O que uma splay tree faz depois de cada acesso?

  1. ARecolore os nós do caminho de busca
  2. BReconstrói a árvore inteira na forma balanceada
  3. CMove o nó acessado para uma folha
  4. DLeva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 42 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 3 começam e terminam em A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Um array que já está ordenado

Porque é esta a resposta

Com entrada ordenada, o pivô é sempre o mínimo, então um lado fica vazio e o outro tem n − 1 elementos, o que dá O(n²).

Resposta

B · Um array que já está ordenado
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

B · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore balanceada tem altura de cerca de log₂ n, então uma busca segue um único caminho da raiz até uma folha.

Resposta

A · O(log n)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Leva o nó acessado até a raiz por rotações

Porque é esta a resposta

O splaying move o nó acessado para a raiz por meio de rotações; uma única operação pode custar O(n), mas o custo amortizado é O(log n).

Resposta

D · Leva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Resposta

L = 6

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Mais um passo

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 2·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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