Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é o tempo de execução do radix sort LSD para n inteiros com d dígitos na base k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(dn log k)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) faça trabalho O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n √n)
3.Estruturas de dadosMédia

Como se encontra a menor chave em uma árvore binária de busca?

  1. ASeguindo os filhos direitos a partir da raiz até não haver filho direito
  2. BSeguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
  3. CVisitando todas as folhas e comparando-as
  4. DOlhando apenas a raiz
4.Estruturas de dadosDifícil

Como detectar se uma lista simplesmente encadeada contém um ciclo usando O(1) de memória extra?

  1. AOrdenar a lista e procurar duplicatas
  2. BGuardar cada nó visitado em um conjunto hash
  3. CContar os nós até a contagem passar do campo de tamanho da lista
  4. DMover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
51242013721415ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(d(n + k))

Porque é esta a resposta

Cada uma das d passadas é um counting sort de custo O(n + k), então, para d e k fixos, o total é linear em n.

Resposta

C · O(d(n + k))
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O total é n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e o número harmônico Hn é Θ(log n).

Resposta

A · O(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda não tem chave menor na árvore, então é o mínimo; o custo é proporcional à altura.

Resposta

B · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram

Porque é esta a resposta

No algoritmo de Floyd, se houver um ciclo, o ponteiro rápido acaba alcançando o lento; caso contrário, o ponteiro rápido chega a null.

Resposta

D · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

C, D → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 31

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DF (2): tomar
BC (4): tomar
AB (5): tomar
DE (7): tomar
AC (12): descartar, fecha um ciclo
CE (13): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 5 + 7 + 13 = 31

Resposta

W = 31

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