Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da mochila 0/1 resolvido com programação dinâmica leva tempo O(nW). Por que isso é chamado de pseudopolinomial?

  1. APorque n é sempre pequeno
  2. BPorque só funciona para W = 0
  3. CPorque o algoritmo é aleatorizado e seu tempo de execução varia a cada entrada
  4. DW é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
3.Estruturas de dadosMédia

Um buffer circular (ring buffer) é comumente usado para implementar:

  1. AUma árvore binária de busca
  2. BUma fila de tamanho fixo
  3. CUma função hash
  4. DUm percurso em grafo
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que árvores B (B-trees) são usadas em bancos de dados e sistemas de arquivos?

  1. AElas não precisam de rebalanceamento
  2. BSeu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
  3. CElas usam menos memória que qualquer array, então o índice inteiro sempre cabe na memória principal
  4. DElas armazenam os dados sem ordenação
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 18 vértices e 29 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 18|E| = 29
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1145151512159ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n²)

Porque é esta a resposta

O trabalho soma cerca de n² / 2; é a recorrência do selection sort ou do quicksort com o pior pivô.

Resposta

B · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W

Porque é esta a resposta

O tempo de execução é polinomial no valor de W, mas exponencial no seu comprimento (log W bits); a mochila 0/1 é NP-completa.

Resposta

D · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila de tamanho fixo

Porque é esta a resposta

Um buffer circular usa índices de início e fim que dão a volta, oferecendo enqueue e dequeue em O(1) com memória fixa.

Resposta

B · Uma fila de tamanho fixo
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco

Porque é esta a resposta

Árvores B armazenam muitas chaves por nó, então a altura é pequena e poucas leituras de blocos são necessárias por busca; árvores B+ também ligam as folhas para varreduras por intervalo.

Resposta

B · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

18 − 1 = 17

Arestas a remover

k = 29 − 17 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 31

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 14
B (1): C: 6, D: 16, E: 10
C (6)
E (10)
D (16): F: 31
F (31)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 31

Resposta

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms