Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a base do logaritmo costuma ser omitida no O grande, como em O(log n)?

  1. AOs logaritmos são sempre arredondados para inteiros
  2. BLogaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
  3. CA base só importa para n pequeno
  4. DTodos os logaritmos em computação têm base 10, então ela fica implícita
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre selecionar o k-ésimo menor elemento de um array não ordenado está correta?

  1. AO quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
  2. BA seleção sempre exige Ω(n log n), porque requer ordenação
  3. CO quickselect roda em O(log n) no pior caso, porque faz recursão em apenas um lado do pivô
  4. DA seleção só é possível em O(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B24
  3. C11
  4. D10
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
  2. BFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
  3. COrdena os filhos de cada nó por frequência
  4. DGuarda só a primeira letra de cada palavra
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
5131114101106ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante

Porque é esta a resposta

Mudar a base multiplica o logaritmo por uma constante, e o O grande ignora fatores constantes.

Resposta

B · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso

Porque é esta a resposta

O trabalho esperado do quickselect é n + n/2 + n/4 + ... = O(n) com pivôs aleatórios; escolher o pivô como mediana das medianas torna o pior caso linear.

Resposta

A · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

A · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices ímpares

B, C, D, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: C

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 5, C: 13
2. B (5): D: 19, E: 11
3. E (11): F: 21
4. C (13)
5. D (19): F: 20
6. F (20)

rodada 4

C

Resposta

C

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