Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo esperado sobre entradas aleatórias
  2. BO custo de um algoritmo com a melhor entrada
  3. CO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
  4. DO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para qual variante da mochila a regra gulosa "pegar os itens em ordem de valor por peso" sempre dá uma resposta ótima?

  1. AA mochila 0/1, em que os itens devem ser sempre levados inteiros
  2. BAs duas variantes
  3. CA mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
  4. DNenhuma das variantes
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D2i + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. ASó o percurso por níveis
  2. BPré-ordem e pós-ordem
  3. CPré-ordem e em ordem
  4. DSó a pré-ordem
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 10 vértices e 18 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 10|E| = 18
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
7981369105ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

D · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos

Porque é esta a resposta

Quando os itens podem ser divididos, a melhor razão primeiro é ótima; na mochila 0/1, um item de razão alta pode bloquear uma combinação melhor, então é preciso programação dinâmica.

Resposta

C · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dados

Resposta: A · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

A · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

C · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 9

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

10 − 1 = 9

Arestas a remover

k = 18 − 9 = 9

Resposta

k = 9
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 18

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 7, C: 9
B (7): E: 12
C (9)
E (12): D: 18, F: 22
D (18)
F (22)

Caminho mais curto

A → B → E → D
d(D) = 18

Resposta

d(D) = 18

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