Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

  1. ASim, mas só se n for menor que 100
  2. BNão, porque n³ é menor que n² para n grande
  3. CSim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
  4. DNão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. ANP significa "não polinomial"
  2. BTodo problema em P também está em NP
  3. CSoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
  4. DFoi provado que P ≠ NP
3.Estruturas de dadosMédia

Um buffer circular (ring buffer) é comumente usado para implementar:

  1. AUm percurso em grafo
  2. BUma fila de tamanho fixo
  3. CUma árvore binária de busca
  4. DUma função hash
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AEscolher o vértice inicial
  2. BOrdenar as arestas por peso
  3. CArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
  4. DVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1519849163ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice E. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.

início: Ek = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

C · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

B · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila de tamanho fixo

Porque é esta a resposta

Um buffer circular usa índices de início e fim que dão a volta, oferecendo enqueue e dequeue em O(1) com memória fixa.

Resposta

B · Uma fila de tamanho fixo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

A, C, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BD

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. BE (3)
2. BD (4)
3. BC (8)
4. AB (15)

número da aresta 2

BD

Resposta

aresta BD

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