Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
  2. BEscolher primeiro a atividade mais curta
  3. CEscolher a atividade que começa mais cedo
  4. DEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que o teorema de Cook–Levin estabeleceu?

  1. ATodo problema NP pode ser resolvido em tempo exponencial
  2. BO problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
  3. CP é diferente de NP
  4. DO problema da parada é indecidível
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(n²), porque cada elemento se move n vezes
  2. BO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
  3. CO(log n), por causa da busca binária
  4. DO(1), porque o índice é conhecido
4.Estruturas de dadosDifícil

Você precisa guardar os k menores valores de um fluxo de n números usando O(k) de memória. Qual abordagem funciona em tempo O(n log k)?

  1. AUm array ordenado com todos os n valores
  2. BUma fila FIFO com os últimos k valores
  3. CUm min-heap com todos os n valores, do qual os k menores são removidos no final
  4. DUm max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
938721210113ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo

Porque é esta a resposta

Cook e Levin mostraram, de forma independente, que todo problema em NP se reduz ao SAT em tempo polinomial, então o SAT foi o primeiro problema NP-completo conhecido.

Resposta

B · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

B · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor

Porque é esta a resposta

A raiz do max-heap é o maior valor guardado; qualquer valor novo menor a substitui em O(log k), então o heap sempre contém os k menores até o momento.

Resposta

D · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Vértices ímpares

B, C, D, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 16

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 9, C: 3
C (3): E: 5
E (5): D: 17, F: 16, B: 8
B (8): D: 15
D (15)
F (16)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 16

Resposta

d(F) = 16

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