Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A complexidade de tempo do Fibonacci recursivo ingênuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) é:

  1. AConstante
  2. BExponencial
  3. CLinear
  4. DLogarítmica
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da mochila 0/1 resolvido com programação dinâmica leva tempo O(nW). Por que isso é chamado de pseudopolinomial?

  1. APorque só funciona para W = 0
  2. BPorque n é sempre pequeno
  3. CPorque o algoritmo é aleatorizado e seu tempo de execução varia a cada entrada
  4. DW é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada para verificar se os parênteses em "{[()]}" estão balanceados?

  1. AUma pilha
  2. BUma fila
  3. CUma árvore binária de busca
  4. DUma tabela hash
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que um servidor pode escolher sua função hash ao acaso a partir de uma família universal?

  1. APara garantir que duas chaves nunca colidam, quaisquer que sejam as chaves enviadas por um atacante
  2. BPara eliminar a necessidade de redimensionar a tabela
  3. CPara manter a tabela hash ordenada
  4. DPara tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 7 vértices e 12 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 7|E| = 12
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
29192018141517ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Exponencial

Porque é esta a resposta

A árvore de chamadas cresce aproximadamente como φⁿ (cerca de 1,618ⁿ). A memoização reduz isso para O(n).

Resposta

B · Exponencial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W

Porque é esta a resposta

O tempo de execução é polinomial no valor de W, mas exponencial no seu comprimento (log W bits); a mochila 0/1 é NP-completa.

Resposta

D · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma pilha

Porque é esta a resposta

Empilhe cada símbolo de abertura e desempilhe quando aparecer um de fechamento; ele deve corresponder ao desempilhado e a pilha deve estar vazia no final.

Resposta

A · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si

Porque é esta a resposta

Com hashing universal, o número esperado de colisões é pequeno para qualquer conjunto de chaves, já que o atacante não sabe qual função foi escolhida.

Resposta

D · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

7 − 1 = 6

Arestas a remover

k = 12 − 6 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 58

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AB (2): tomar
AC (9): tomar
DE (14): tomar
DF (15): tomar
EF (17): descartar, fecha um ciclo
CE (18): tomar

Peso total

W = 2 + 9 + 14 + 15 + 18 = 58

Resposta

W = 58

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