Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é o tempo de execução do radix sort LSD para n inteiros com d dígitos na base k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(d(n + k))
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe P está correta?

  1. AProblemas cujas soluções podem ser verificadas, mas nunca encontradas, em tempo polinomial
  2. BProblemas que podem ser resolvidos em paralelo
  3. CProblemas que exigem tempo exponencial em qualquer computador
  4. DProblemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada para verificar se os parênteses em "{[()]}" estão balanceados?

  1. AUma fila
  2. BUma pilha
  3. CUma árvore binária de busca
  4. DUma tabela hash
4.Estruturas de dadosDifícil

Como detectar se uma lista simplesmente encadeada contém um ciclo usando O(1) de memória extra?

  1. AMover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
  2. BOrdenar a lista e procurar duplicatas
  3. CContar os nós até a contagem passar do campo de tamanho da lista
  4. DGuardar cada nó visitado em um conjunto hash
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
418151341010ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(d(n + k))

Porque é esta a resposta

Cada uma das d passadas é um counting sort de custo O(n + k), então, para d e k fixos, o total é linear em n.

Resposta

D · O(d(n + k))
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

P contém os problemas de decisão com um algoritmo determinístico de tempo polinomial, como verificar se um grafo é conexo.

Resposta

D · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma pilha

Porque é esta a resposta

Empilhe cada símbolo de abertura e desempilhe quando aparecer um de fechamento; ele deve corresponder ao desempilhado e a pilha deve estar vazia no final.

Resposta

B · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram

Porque é esta a resposta

No algoritmo de Floyd, se houver um ciclo, o ponteiro rápido acaba alcançando o lento; caso contrário, o ponteiro rápido chega a null.

Resposta

A · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices ímpares

B, C, D, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 4, C: 1
2. C (1)
3. B (4): D: 19, E: 14
4. E (14): F: 24
5. D (19): F: 23
6. F (23)

rodada 4

E

Resposta

E

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