Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. ASempre fornece a solução ótima
  2. BUsa apenas recursão
  3. CFaz a melhor escolha local em cada passo
  4. DTesta todas as soluções possíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como o algoritmo de Bellman–Ford detecta um ciclo de peso negativo alcançável a partir da origem?

  1. AExecuta o algoritmo de Dijkstra duas vezes e compara os dois resultados de distância
  2. BApós V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
  3. CVerifica se alguma aresta tem peso negativo
  4. DConta os ciclos com busca em profundidade
3.Estruturas de dadosMédia

Um nó de uma árvore binária de busca tem subárvore direita. Onde está o seu sucessor em ordem?

  1. ANo nó mais à direita da sua subárvore esquerda
  2. BNo nó mais à esquerda da sua subárvore direita
  3. CSempre no seu filho direito
  4. DSempre no seu pai
4.Estruturas de dadosDifícil

Um array dinâmico dobra de tamanho quando fica cheio. Por que muitas implementações só o encolhem quando está com um quarto da capacidade, e não com metade?

  1. APara evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
  2. BPara manter o array ordenado
  3. CPorque reduzir à metade com metade ocupada perderia elementos
  4. DPorque o alocador de memória só consegue liberar memória em quartos de bloco
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 6 vértices e 14 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 6|E| = 14
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 3 vão de E a B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

C · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada

Porque é esta a resposta

Todas as distâncias mínimas verdadeiras são encontradas em V − 1 rodadas; se uma aresta ainda puder ser melhorada, deve existir um ciclo negativo.

Resposta

B · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
3.Estruturas de dados

Resposta: B · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita

Porque é esta a resposta

Todas as chaves maiores próximas do nó estão na sua subárvore direita, e a menor delas é o nó mais à esquerda ali.

Resposta

B · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite

Porque é esta a resposta

Encolher com metade ocupada poderia disparar um redimensionamento a cada operação nessa sequência; a folga entre 1/4 e cheio mantém o custo amortizado em O(1).

Resposta

A · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 9

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

6 − 1 = 5

Arestas a remover

k = 14 − 5 = 9

Resposta

k = 9
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 6

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Mais um passo

(M³)EB = 2·1 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·1 = 6

Resposta

N = 6

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