Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quanto espaço de pilha usa uma função fatorial recursiva simples fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como o algoritmo de Bellman–Ford detecta um ciclo de peso negativo alcançável a partir da origem?

  1. AApós V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
  2. BVerifica se alguma aresta tem peso negativo
  3. CExecuta o algoritmo de Dijkstra duas vezes e compara os dois resultados de distância
  4. DConta os ciclos com busca em profundidade
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. A2
  2. B1
  3. CNão há máximo
  4. D0,5
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que árvores B (B-trees) são usadas em bancos de dados e sistemas de arquivos?

  1. ASeu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
  2. BElas não precisam de rebalanceamento
  3. CElas armazenam os dados sem ordenação
  4. DElas usam menos memória que qualquer array, então o índice inteiro sempre cabe na memória principal
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
221012871514ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

A recursão chega a n chamadas de profundidade antes de qualquer retorno, e cada chamada precisa de um quadro de pilha, então usa espaço O(n).

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada

Porque é esta a resposta

Todas as distâncias mínimas verdadeiras são encontradas em V − 1 rodadas; se uma aresta ainda puder ser melhorada, deve existir um ciclo negativo.

Resposta

A · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

B · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco

Porque é esta a resposta

Árvores B armazenam muitas chaves por nó, então a altura é pequena e poucas leituras de blocos são necessárias por busca; árvores B+ também ligam as folhas para varreduras por intervalo.

Resposta

A · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

C, D, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 14

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 2, C: 2
B (2): D: 14, E: 16
C (2): E: 10
E (10): F: 25
D (14): F: 21
F (21)

Caminho mais curto

A → B → D
d(D) = 14

Resposta

d(D) = 14

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