Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de n
  2. BCerca de log₂ n
  3. CCerca de n / 2
  4. DCerca de √n
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

22n está em O(2ⁿ)?

  1. ANão, porque 22n cresce mais devagar que 2ⁿ
  2. BNão, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
  3. CSim, porque fatores constantes no expoente são sempre ignorados no O grande
  4. DSim, porque ambos são exponenciais
3.Estruturas de dadosMédia

Um nó de uma árvore binária de busca tem subárvore direita. Onde está o seu sucessor em ordem?

  1. ANo nó mais à esquerda da sua subárvore direita
  2. BSempre no seu filho direito
  3. CNo nó mais à direita da sua subárvore esquerda
  4. DSempre no seu pai
4.Estruturas de dadosDifícil

Para cada elemento de um array, você quer o próximo elemento maior à sua direita, em tempo total O(n). Qual estrutura ajuda?

  1. AUma tabela hash com todos os elementos
  2. BUma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
  3. CUma fila que guarda todos os pares de elementos
  4. DUma árvore binária de busca reconstruída para cada elemento
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 20 vértices e 20 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 20|E| = 20
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1213481537ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

B · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite

Porque é esta a resposta

Uma constante somada ao expoente dá um fator constante, mas uma constante multiplicando o expoente muda a base e a taxa de crescimento.

Resposta

B · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
3.Estruturas de dados

Resposta: A · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita

Porque é esta a resposta

Todas as chaves maiores próximas do nó estão na sua subárvore direita, e a menor delas é o nó mais à esquerda ali.

Resposta

A · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta

Porque é esta a resposta

Percorrendo da esquerda para a direita, desempilhe todo elemento menor que o atual (o atual é a resposta deles) e depois empilhe-o; cada elemento se move no máximo duas vezes.

Resposta

B · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 1

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

20 − 1 = 19

Arestas a remover

k = 20 − 19 = 1

Resposta

k = 1
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 26

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DE (3): tomar
BC (4): tomar
BE (7): tomar
BD (8): descartar, fecha um ciclo
AB (12): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 7 + 12 = 26

Resposta

W = 26

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