Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. AUm único laço
  2. BSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  3. CNenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  4. DApenas entradas aleatórias
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo para construir um heap binário a partir de n elementos não ordenados com o método bottom-up?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Um nó de uma árvore binária de busca tem subárvore direita. Onde está o seu sucessor em ordem?

  1. ASempre no seu pai
  2. BNo nó mais à esquerda da sua subárvore direita
  3. CSempre no seu filho direito
  4. DNo nó mais à direita da sua subárvore esquerda
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é o tempo de execução da busca em largura em um grafo com V vértices armazenado como matriz de adjacência?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 8 vértices e 9 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 8|E| = 9
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1481931714ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

Somar os custos de descida (sift-down) em todos os níveis resulta em uma série convergente, então o heapify roda em tempo linear.

Resposta

D · O(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita

Porque é esta a resposta

Todas as chaves maiores próximas do nó estão na sua subárvore direita, e a menor delas é o nó mais à esquerda ali.

Resposta

B · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O(V²)

Porque é esta a resposta

Cada um dos V vértices percorre uma linha de V entradas, o que dá O(V²); com listas de adjacência, a BFS é O(V + E).

Resposta

D · O(V²)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 2

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

8 − 1 = 7

Arestas a remover

k = 9 − 7 = 2

Resposta

k = 2
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 26

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DE (1): tomar
BD (3): tomar
BE (4): descartar, fecha um ciclo
AC (8): tomar
AB (14): tomar

Peso total

W = 1 + 3 + 8 + 14 = 26

Resposta

W = 26

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