Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a programação dinâmica não traz ganho real de velocidade para o merge sort?

  1. AA programação dinâmica só funciona em problemas de grafos, não em vetores
  2. BSeus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
  3. CO merge sort já é O(n)
  4. DO merge sort não tem estrutura recursiva
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

  1. ANão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
  2. BSim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
  3. CSim, portanto o limite inferior está errado
  4. DNão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(E²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.Estruturas de dadosDifícil

O algoritmo de Kahn para ordenação topológica remove repetidamente vértices com grau de entrada 0. Qual estrutura guarda esses vértices?

  1. AUm max-heap ordenado pelo grau de saída
  2. BUma matriz de adjacência que registra quais vértices já foram removidos
  3. CUma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
  4. DUma pilha com todas as arestas visitadas
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 5, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 34 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
218519171569ABCDEF

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4; as arestas descartadas não contam.

k = 4
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar

Porque é esta a resposta

As metades do merge sort são disjuntas e cada uma é resolvida uma vez; a PD só ajuda quando os subproblemas se repetem, como no Fibonacci.

Resposta

B · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

A · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

B · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0

Porque é esta a resposta

Os vértices prontos ficam numa fila; remover um diminui o grau de entrada dos vizinhos, e os que chegam a 0 são adicionados, o que dá tempo O(V + E).

Resposta

C · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 18

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 38 = 2(L + 11) − 2
L = 18

Resposta

L = 18

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. AB (2)
2. BC (5)
3. EF (6)
4. BE (9)
5. DE (15)

número da aresta 4

BE

Resposta

aresta BE

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