Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca binária não dá tempo O(log n) numa lista simplesmente encadeada?

  1. AChegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
  2. BAs comparações entre nós de lista encadeada são mais lentas
  3. CListas encadeadas não podem ser ordenadas
  4. DA busca binária precisa de pelo menos o dobro da memória
3.Estruturas de dadosMédia

O que acontece quando uma tabela hash faz rehash depois que o fator de carga passa de um limite?

  1. AUma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
  2. BAs chaves mais antigas são apagadas para abrir espaço
  3. CSó as chaves que colidiram são movidas para uma nova lista de overflow no fim da tabela
  4. DAs chaves existentes são ordenadas no próprio lugar
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que os bancos de dados costumam usar árvores B+ em vez de árvores B simples nos índices?

  1. AÁrvores B+ não precisam ser balanceadas
  2. BÁrvores B+ armazenam dados apenas na raiz
  3. CÁrvores B+ usam nós internos binários, o que reduz as leituras de disco
  4. DTodos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 3 começam e terminam em A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(log n)

Porque é esta a resposta

O problema cai pela metade a cada passo, com trabalho constante por passo, então há cerca de log₂ n passos.

Resposta

A · O(log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice

Porque é esta a resposta

A busca binária precisa de acesso O(1) ao meio; numa lista encadeada, andar até lá custa tempo linear, então o total é O(n).

Resposta

A · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo

Porque é esta a resposta

Como o índice é calculado módulo o tamanho da tabela, todas as chaves precisam ser reinseridas na nova tabela maior; dobrando o tamanho, o custo continua O(1) amortizado.

Resposta

A · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes

Porque é esta a resposta

Em uma árvore B+, os nós internos só guiam a busca e as folhas são encadeadas na ordem das chaves, então uma consulta por intervalo encontra a primeira chave e depois percorre as folhas.

Resposta

D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

A, B, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Mais um passo

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 = 2

Resposta

N = 2

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