Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do algoritmo de Bellman–Ford num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V³ × E)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais duas coisas precisam ser mostradas para provar que um problema de decisão X é NP-completo?

  1. AX está em P, e X se reduz ao SAT
  2. BX se reduz a um problema em P, e X está em NP
  3. CX está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
  4. DX não tem algoritmo polinomial, e X é decidível
3.Estruturas de dadosMédia

Um nó de uma árvore binária de busca tem subárvore direita. Onde está o seu sucessor em ordem?

  1. ANo nó mais à direita da sua subárvore esquerda
  2. BSempre no seu pai
  3. CSempre no seu filho direito
  4. DNo nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é o tempo de execução da busca em largura em um grafo com V vértices armazenado como matriz de adjacência?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V)
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K7? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K7
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
613121098ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(V × E)

Porque é esta a resposta

Cada uma das V − 1 rodadas relaxa as E arestas, o que dá O(VE); em troca, ele lida com pesos de aresta negativos.

Resposta

B · O(V × E)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

A pertinência a NP mostra que X não é mais difícil que NP; a redução a partir de um problema NP-completo conhecido mostra que X é pelo menos tão difícil quanto todo NP.

Resposta

C · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: D · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita

Porque é esta a resposta

Todas as chaves maiores próximas do nó estão na sua subárvore direita, e a menor delas é o nó mais à esquerda ali.

Resposta

D · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(V²)

Porque é esta a resposta

Cada um dos V vértices percorre uma linha de V entradas, o que dá O(V²); com listas de adjacência, a BFS é O(V + E).

Resposta

C · O(V²)
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 360

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Resposta

H = 360
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 6
2. B (6): C: 7, D: 9, E: 14
3. C (7): E: 8
4. E (8): F: 17
5. D (9)
6. F (17)

rodada 5

D

Resposta

D

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