Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. AUma ordenação topológica em todos os grafos
  2. BA árvore geradora mínima
  3. CCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
  4. DCaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de programação dinâmica de Held–Karp resolve o problema do caixeiro-viajante de forma exata. Qual é o seu tempo de execução para n cidades?

  1. AO(n³)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n!)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Estruturas de dadosMédia

Em um heap binário armazenado em um array a partir do índice 0, onde está o pai do nó no índice i?

  1. ANo índice i − 1
  2. BNo índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CNo índice 2i + 1
  4. DNo índice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AOrdenar as arestas por peso
  2. BVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
  3. CEscolher o vértice inicial
  4. DArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
16109415188ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice B. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4.

início: Bk = 4
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

D · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n² 2ⁿ)

Porque é esta a resposta

Há cerca de n 2ⁿ estados, cada um calculado em O(n); isso é exponencial, mas muito mais rápido que testar todos os (n − 1)! percursos.

Resposta

D · O(n² 2ⁿ)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Porque é esta a resposta

Os filhos de i estão em 2i + 1 e 2i + 2, então o pai de i é ⌊(i − 1) / 2⌋; com índices a partir de 1, é ⌊i / 2⌋.

Resposta

B · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

B · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Resposta

L = 10

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AC

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. BD (4)
2. BE (8)
3. BC (9)
4. AC (10)

número da aresta 4

AC

Resposta

aresta AC

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