Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com uma tabela bottom-up?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), mas n não é o(n)
  3. C2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  4. Dn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. AQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
  2. BBusca em tempo constante em todos os casos
  3. CAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
  4. DQue nenhum nó tenha dois filhos
4.Estruturas de dadosDifícil

Um objeto é armazenado como chave em um hash map e depois um campo usado pela sua função hash é alterado. Qual é o resultado provável?

  1. AA busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
  2. BO map lança um erro no momento em que o campo muda
  3. CO map move automaticamente a chave para o novo bucket
  4. DNada muda, porque o hash de uma chave é calculado uma só vez, quando o programa começa
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1620954101181718315ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Preencher a tabela de 0 a n custa uma adição por entrada, então o trabalho é linear em vez de exponencial.

Resposta

A · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

B · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

C · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo

Porque é esta a resposta

A posição da chave foi escolhida pelo hash antigo; com um novo hash, as buscas olham o bucket errado, então as chaves devem ser imutáveis.

Resposta

A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices ímpares

A, B, C, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 45

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GD (3): tomar
CE (4): tomar
BD (5): tomar
EF (8): tomar
BC (9): tomar
DE (10): descartar, fecha um ciclo
DF (11): descartar, fecha um ciclo
GE (15): descartar, fecha um ciclo
AB (16): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 5 + 8 + 9 + 16 = 45

Resposta

W = 45

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