Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
  2. BO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
  3. CO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  4. DO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo para construir um heap binário a partir de n elementos não ordenados com o método bottom-up?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma aplicação precisa de buscas rápidas e também de listar as chaves em ordem e responder a consultas por intervalo. Qual estrutura é a mais adequada?

  1. AUma pilha
  2. BUma tabela hash
  3. CUma lista encadeada não ordenada
  4. DUma árvore binária de busca balanceada
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que não se pode simplesmente remover elementos de um filtro de Bloom padrão zerando seus bits?

  1. AFiltros de Bloom armazenam os elementos completos, que não podem ser localizados de novo depois do hash
  2. BEsses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
  3. COs bits de um filtro de Bloom não podem ser alterados depois da criação
  4. DRemover aumentaria a taxa de falsos positivos para 100%
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K7? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K7
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
117129181112ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

B · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Somar os custos de descida (sift-down) em todos os níveis resulta em uma série convergente, então o heapify roda em tempo linear.

Resposta

C · O(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma árvore binária de busca balanceada

Porque é esta a resposta

Uma BST balanceada dá buscas em O(log n) e mantém as chaves ordenadas, então o percurso em ordem e as consultas por intervalo são fáceis; uma tabela hash espalha as chaves.

Resposta

D · Uma árvore binária de busca balanceada
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos

Porque é esta a resposta

Zerar um bit compartilhado faria outro elemento parecer ausente; filtros de Bloom com contagem usam contadores em vez de bits para permitir a remoção.

Resposta

B · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 360

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Resposta

H = 360
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 30

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 11
B (11): C: 18, D: 23
C (18): E: 27, G: 19
G (19): E: 21
E (21): D: 22, F: 32
D (22): F: 30
F (30)

Caminho mais curto

A → B → C → G → E → D → F
d(F) = 30

Resposta

d(F) = 30

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