Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é o tempo de execução do radix sort LSD para n inteiros com d dígitos na base k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(dn log k)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

22n está em O(2ⁿ)?

  1. ANão, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
  2. BSim, porque ambos são exponenciais
  3. CSim, porque fatores constantes no expoente são sempre ignorados no O grande
  4. DNão, porque 22n cresce mais devagar que 2ⁿ
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. Alog₂ n
  2. Bn (ela vira uma lista encadeada)
  3. C1
  4. D√n
4.Estruturas de dadosDifícil

O que uma splay tree faz depois de cada acesso?

  1. AMove o nó acessado para uma folha
  2. BLeva o nó acessado até a raiz por rotações
  3. CRecolore os nós do caminho de busca
  4. DReconstrói a árvore inteira na forma balanceada
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K5? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K5
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
10971213331ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(d(n + k))

Porque é esta a resposta

Cada uma das d passadas é um counting sort de custo O(n + k), então, para d e k fixos, o total é linear em n.

Resposta

A · O(d(n + k))
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite

Porque é esta a resposta

Uma constante somada ao expoente dá um fator constante, mas uma constante multiplicando o expoente muda a base e a taxa de crescimento.

Resposta

A · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
3.Estruturas de dados

Resposta: B · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

B · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Leva o nó acessado até a raiz por rotações

Porque é esta a resposta

O splaying move o nó acessado para a raiz por meio de rotações; uma única operação pode custar O(n), mas o custo amortizado é O(log n).

Resposta

B · Leva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Resposta

H = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: G

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): C: 10
2. C (10): B: 19, E: 11
3. E (11): D: 13, F: 24, G: 12
4. G (12): B: 15
5. D (13)
6. B (15)
7. F (24)

rodada 4

G

Resposta

G

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