Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ANenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  2. BApenas entradas aleatórias
  3. CSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  4. DUm único laço
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que o algoritmo de Dijkstra pode dar resultados errados quando alguns pesos de aresta são negativos?

  1. AEntra num laço infinito a cada aresta negativa
  2. BSó funciona em grafos não dirigidos
  3. CUm vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
  4. DNúmeros negativos não podem ser armazenados numa fila de prioridade
3.Estruturas de dadosMédia

O que é verdade sobre a matriz de adjacência de um grafo não direcionado?

  1. AA diagonal principal sempre contém uns
  2. BÉ simétrica em relação à diagonal principal
  3. CCada linha tem exatamente um 1
  4. DÉ sempre triangular superior
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. ASó a pré-ordem
  2. BPré-ordem e em ordem
  3. CPré-ordem e pós-ordem
  4. DSó o percurso por níveis
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
6104715512111ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

C · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto

Porque é esta a resposta

O passo guloso depende de pesos não negativos para que as distâncias extraídas sejam definitivas; usa-se Bellman–Ford quando os pesos podem ser negativos.

Resposta

C · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
3.Estruturas de dados

Resposta: B · É simétrica em relação à diagonal principal

Porque é esta a resposta

Em um grafo não direcionado, a aresta {u, v} significa que M[u][v] e M[v][u] estão marcados, então a matriz é igual à sua transposta.

Resposta

B · É simétrica em relação à diagonal principal
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

B · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: F

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 6, C: 10
2. B (6): D: 13, G: 18
3. C (10): E: 25
4. D (13): F: 18, G: 14
5. G (14)
6. F (18)
7. E (25)

rodada 6

F

Resposta

F

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