Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo de ordenação é estável?

  1. ASelection sort (versão típica)
  2. BMerge sort
  3. CQuicksort (versão in-place típica)
  4. DHeap sort
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a diferença entre um problema indecidível e um intratável?

  1. ANenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
  2. BProblemas intratáveis não podem ser resolvidos por nenhum algoritmo, enquanto os indecidíveis só exigem tempo exponencial
  3. CProblemas indecidíveis estão em NP, enquanto os intratáveis estão em P
  4. DAmbos significam que o problema não tem nenhum algoritmo
3.Estruturas de dadosMédia

Uma fila é implementada com duas pilhas: push numa pilha "in" e pop numa pilha "out", reabastecida a partir de "in" quando está vazia. Qual é o custo amortizado por operação?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual problema da sondagem linear o hashing duplo reduz principalmente?

  1. AO agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
  2. BO custo O(n) de ler o valor de uma chave
  3. CA necessidade de uma função hash
  4. DA necessidade de armazenar as chaves na tabela
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 33 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
101925161491511ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2; as arestas descartadas não contam.

k = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BD
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DF
  6. 6aresta GB
  7. 7aresta GC
  8. 8aresta GD
  9. 9aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Merge sort

Porque é esta a resposta

O merge sort é estável quando, em caso de empate, a intercalação pega primeiro da metade esquerda. Quicksort in-place, heap sort e selection sort geralmente não são estáveis.

Resposta

B · Merge sort
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais

Porque é esta a resposta

O problema da parada não tem nenhum algoritmo; um problema NP-difícil como o TSP pode ser resolvido por força bruta, só que não em tempo polinomial conhecido.

Resposta

A · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(1)

Porque é esta a resposta

Cada elemento é empilhado e desempilhado no máximo duas vezes no total, então, embora um reabastecimento possa levar O(n), a média em uma sequência é O(1).

Resposta

D · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas

Porque é esta a resposta

A sondagem linear avança de 1 em 1, então as sequências ocupadas crescem e se fundem; o hashing duplo usa um segundo hash para o tamanho do passo, de modo que chaves diferentes sondam sequências diferentes.

Resposta

A · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 12 = 2(L + 5) − 2
L = 4

Resposta

L = 4

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. BD (2)
2. CE (5)
3. GC (9)
4. AB (10)
5. GB (14)
6. DF (16)

número da aresta 2

CE

Resposta

aresta CE

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