Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Você ordena um array de n elementos uma vez e depois responde a k consultas de pertinência com busca binária. Qual é o custo total?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que qualquer busca baseada em comparações num array ordenado precisa de Ω(log n) comparações no pior caso?

  1. AUma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
  2. BA busca binária é o único algoritmo possível e precisa de log₂ n comparações
  3. CCada comparação leva tempo logarítmico
  4. DTodo elemento precisa ser comparado pelo menos uma vez
3.Estruturas de dadosMédia

Um buffer circular (ring buffer) é comumente usado para implementar:

  1. AUm percurso em grafo
  2. BUma fila de tamanho fixo
  3. CUma função hash
  4. DUma árvore binária de busca
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de segmentos (segment tree) é normalmente usada para:

  1. AOrdenar strings alfabeticamente guardando cada prefixo em um nó separado da árvore
  2. BResponder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
  3. CImplementar uma pilha
  4. DArmazenar as arestas de um grafo
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K7? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K7
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
143478162171310ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n log n + k log n)

Porque é esta a resposta

Ordenar custa O(n log n) e cada consulta O(log n); isso supera k varreduras lineares (O(nk)) quando k é grande.

Resposta

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n

Porque é esta a resposta

Cada comparação no máximo divide pela metade o conjunto de possibilidades restantes, então distinguir n posições exige pelo menos log₂ n comparações.

Resposta

A · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila de tamanho fixo

Porque é esta a resposta

Um buffer circular usa índices de início e fim que dão a volta, oferecendo enqueue e dequeue em O(1) com memória fixa.

Resposta

B · Uma fila de tamanho fixo
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore de segmentos armazena agregados de intervalos, permitindo consultas por intervalo e atualizações pontuais em tempo O(log n).

Resposta

B · Responder a consultas por intervalo (como somas de intervalos) e atualizações em O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 360

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Resposta

H = 360
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 40

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

EF (2): tomar
BC (3): tomar
BD (4): tomar
CE (7): tomar
DE (8): descartar, fecha um ciclo
GE (10): tomar
GC (13): descartar, fecha um ciclo
AC (14): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 10 + 14 = 40

Resposta

W = 40

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