Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do quicksort no pior caso?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. AFoi provado que P ≠ NP
  2. BNP significa "não polinomial"
  3. CTodo problema em P também está em NP
  4. DSoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. AAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  2. BAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
  3. CTodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  4. DTodo nó é colorido de vermelho ou preto
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AOrdena os filhos de cada nó por frequência
  2. BFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
  3. CGuarda só a primeira letra de cada palavra
  4. DArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
82171491513ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice A. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3.

início: Ak = 3
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n²)

Porque é esta a resposta

Com pivôs sempre ruins (por exemplo, entrada já ordenada e o primeiro elemento como pivô), as partições ficam desbalanceadas, resultando em O(n²). O caso médio é O(n log n).

Resposta

D · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

C · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: A · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

A · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. AC (2)
2. AB (8)
3. CE (9)
4. BD (14)

número da aresta 3

CE

Resposta

aresta CE

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