Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for j = 1 to i: faça trabalho O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) faça trabalho O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Por que percorrer um array costuma ser muito mais rápido na prática do que percorrer uma lista encadeada do mesmo tamanho?

  1. APercorrer um array é O(1) no total, enquanto percorrer uma lista encadeada é O(n)
  2. BOs elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU
  3. CListas encadeadas sempre armazenam os elementos em disco
  4. DArrays usam menos instruções para comparar valores
4.Estruturas de dadosDifícil

A complexidade de tempo de decrease-key em um heap binário (dada a posição do elemento) é:

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
11991310326ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n²)

Porque é esta a resposta

O corpo interno executa n(n + 1) / 2 vezes no total, o que continua sendo quadrático.

Resposta

A · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O total é n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e o número harmônico Hn é Θ(log n).

Resposta

B · O(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Os elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU

Porque é esta a resposta

A memória contígua dá boa localidade de referência, enquanto os nós encadeados podem estar espalhados e causar muitos cache misses.

Resposta

B · Os elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O(log n)

Porque é esta a resposta

Após diminuir a chave, o elemento sobe (sift-up) no máximo a altura do heap. Heaps de Fibonacci alcançam decrease-key em O(1) amortizado.

Resposta

D · O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 14

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 22 = 2(L + 5) − 2
L = 14

Resposta

L = 14

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 22

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 19
B (11): D: 24, E: 17
E (17): D: 20
D (20): F: 22
F (22)

Caminho mais curto

A → B → E → D → F
d(F) = 22

Resposta

d(F) = 22

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