Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Você ordena um array de n elementos uma vez e depois responde a k consultas de pertinência com busca binária. Qual é o custo total?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(nk)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A ordenação topológica só é possível para:

  1. AGrafos não dirigidos
  2. BGrafos com pesos negativos
  3. CGrafos acíclicos dirigidos (DAG)
  4. DGrafos completos
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. A√n
  2. B1
  3. Cn (ela vira uma lista encadeada)
  4. Dlog₂ n
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de Fenwick (binary indexed tree) sobre um array de n números permite quais operações em O(log n)?

  1. AInserir elementos em qualquer posição
  2. BConsultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
  3. CEncontrar a mediana em O(1)
  4. DOrdenar o array e fazer busca binária
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 15 vértices e 25 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 15|E| = 25
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de E a B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n log n + k log n)

Porque é esta a resposta

Ordenar custa O(n log n) e cada consulta O(log n); isso supera k varreduras lineares (O(nk)) quando k é grande.

Resposta

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Grafos acíclicos dirigidos (DAG)

Porque é esta a resposta

Uma ordem topológica existe se e somente se o grafo dirigido não tem ciclos; ela pode ser encontrada em O(V + E) com DFS ou com o algoritmo de Kahn.

Resposta

C · Grafos acíclicos dirigidos (DAG)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

C · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento

Porque é esta a resposta

Uma árvore de Fenwick armazena somas parciais sobre intervalos determinados pelos bits menos significativos de cada índice, então tanto as somas de prefixo quanto as atualizações pontuais levam O(log n).

Resposta

B · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

15 − 1 = 14

Arestas a remover

k = 25 − 14 = 11

Resposta

k = 11
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Vizinhos comuns

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 = 1

Resposta

N = 1

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