Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

  1. ASim, mas só se n for menor que 100
  2. BNão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função
  3. CNão, porque n³ é menor que n² para n grande
  4. DSim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como é classificado o problema do caixeiro-viajante?

  1. AEstá em P, porque o algoritmo de Dijkstra o resolve visitando cada cidade uma única vez
  2. BA versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
  3. CÉ indecidível
  4. DA versão de decisão está em P, mas a versão de otimização é NP-completa
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E²)
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que os bancos de dados costumam usar árvores B+ em vez de árvores B simples nos índices?

  1. AÁrvores B+ armazenam dados apenas na raiz
  2. BÁrvores B+ usam nós internos binários, o que reduz as leituras de disco
  3. CÁrvores B+ não precisam ser balanceadas
  4. DTodos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
369812213112ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

D · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil

Porque é esta a resposta

"Existe um percurso de comprimento no máximo k?" é NP-completo; encontrar o percurso mais curto é NP-difícil, pois é pelo menos tão difícil quanto.

Resposta

B · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

B · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes

Porque é esta a resposta

Em uma árvore B+, os nós internos só guiam a busca e as folhas são encadeadas na ordem das chaves, então uma consulta por intervalo encontra a primeira chave e depois percorre as folhas.

Resposta

D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 11

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 3, C: 6
B (3): D: 11, E: 15
C (6)
D (11): E: 13, F: 24
E (13): F: 14
F (14)

Caminho mais curto

A → B → D
d(D) = 11

Resposta

d(D) = 11

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