Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
  2. BO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  3. CO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
  4. DO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual técnica dá ao quicksort um tempo de execução esperado O(n log n) para qualquer entrada?

  1. ASempre escolher o primeiro elemento
  2. BUsar recursão apenas no lado esquerdo
  3. CEscolher o pivô de forma uniformemente aleatória
  4. DOrdenar a entrada antes de executar o quicksort
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V²)
4.Estruturas de dadosDifícil

O algoritmo de Kahn para ordenação topológica remove repetidamente vértices com grau de entrada 0. Qual estrutura guarda esses vértices?

  1. AUm max-heap ordenado pelo grau de saída
  2. BUma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
  3. CUma matriz de adjacência que registra quais vértices já foram removidos
  4. DUma pilha com todas as arestas visitadas
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 20 vértices e 24 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 20|E| = 24
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
2014610131611ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

D · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória

Porque é esta a resposta

Com um pivô aleatório, o tempo esperado é O(n log n) para toda entrada; casos ruins ainda existem, mas são muito improváveis.

Resposta

C · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

A · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0

Porque é esta a resposta

Os vértices prontos ficam numa fila; remover um diminui o grau de entrada dos vizinhos, e os que chegam a 0 são adicionados, o que dá tempo O(V + E).

Resposta

B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

20 − 1 = 19

Arestas a remover

k = 24 − 19 = 5

Resposta

k = 5
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 41

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BC (6): tomar
BD (10): tomar
BE (11): tomar
CE (13): descartar, fecha um ciclo
AC (14): tomar

Peso total

W = 6 + 10 + 11 + 14 = 41

Resposta

W = 41

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