Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Um problema é NP-completo se ele:

  1. AEstá fora de NP, mas é mais difícil que todos os problemas NP, como o problema da parada
  2. BPode ser resolvido em tempo polinomial
  3. CEstá em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial
  4. DÉ impossível de resolver
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva verificar se a aresta (u, v) existe usando uma matriz de adjacência?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(1)
  4. DO(V)
4.Estruturas de dadosDifícil

Um nó AVL está desbalanceado porque a subárvore direita do seu filho esquerdo ficou alta demais (caso esquerda-direita). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação à direita no filho esquerdo e depois uma à esquerda no nó
  2. BUma rotação simples à direita no nó
  3. CUma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
  4. DUma rotação simples à esquerda no nó
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
9115372851813ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Há n níveis com trabalho constante cada, como numa soma recursiva de um array.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Está em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Problemas NP-completos são os mais difíceis em NP; um algoritmo polinomial para um deles daria um para todo NP.

Resposta

C · Está em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(1)

Porque é esta a resposta

A entrada na linha u, coluna v da matriz diz imediatamente se a aresta existe; uma lista de adjacência pode precisar percorrer os vizinhos de u.

Resposta

C · O(1)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó

Porque é esta a resposta

A primeira rotação converte o caso esquerda-direita em um caso esquerda-esquerda, que uma rotação à direita no nó desbalanceado então corrige.

Resposta

C · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 27

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AC (1): tomar
DF (2): tomar
CE (3): tomar
GB (5): tomar
DE (7): tomar
EF (8): descartar, fecha um ciclo
AB (9): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27

Resposta

W = 27

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