Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que o algoritmo de Floyd–Warshall calcula, e com que rapidez?

  1. AUma ordenação topológica em O(V²)
  2. BCaminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
  3. CUma árvore geradora mínima em O(E log V)
  4. DCaminhos mínimos de um vértice de origem para todos os outros em O(V + E)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual técnica dá ao quicksort um tempo de execução esperado O(n log n) para qualquer entrada?

  1. AEscolher o pivô de forma uniformemente aleatória
  2. BSempre escolher o primeiro elemento
  3. CUsar recursão apenas no lado esquerdo
  4. DOrdenar a entrada antes de executar o quicksort
3.Estruturas de dadosMédia

Em um heap binário armazenado em um array a partir do índice 0, onde está o pai do nó no índice i?

  1. ANo índice i − 1
  2. BNo índice ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CNo índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DNo índice 2i + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AGuarda só a primeira letra de cada palavra
  2. BOrdena os filhos de cada nó por frequência
  3. CArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
  4. DFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 4, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
43103855121411ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)

Porque é esta a resposta

Floyd–Warshall é um algoritmo de programação dinâmica que permite cada vértice, um de cada vez, como ponto intermediário, usando tempo O(V³).

Resposta

B · Caminhos mínimos entre todos os pares de vértices em O(V³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória

Porque é esta a resposta

Com um pivô aleatório, o tempo esperado é O(n log n) para toda entrada; casos ruins ainda existem, mas são muito improváveis.

Resposta

A · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória
3.Estruturas de dados

Resposta: C · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Porque é esta a resposta

Os filhos de i estão em 2i + 1 e 2i + 2, então o pai de i é ⌊(i − 1) / 2⌋; com índices a partir de 1, é ⌊i / 2⌋.

Resposta

C · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

D · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Resposta

L = 11

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 12

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 4, C: 3
C (3): E: 11, G: 17
B (4): D: 7, G: 16
D (7): F: 12
E (11)
F (12)
G (16)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 12

Resposta

d(F) = 12

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