Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

  1. ASim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
  2. BNão, porque n³ é menor que n² para n grande
  3. CSim, mas só se n for menor que 100
  4. DNão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de Strassen multiplica matrizes usando 7, em vez de 8, multiplicações recursivas de blocos de metade do tamanho. Qual é o seu tempo de execução?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pós-ordem?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.Estruturas de dadosDifícil

Para cada elemento de um array, você quer o próximo elemento maior à sua direita, em tempo total O(n). Qual estrutura ajuda?

  1. AUma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
  2. BUma árvore binária de busca reconstruída para cada elemento
  3. CUma fila que guarda todos os pares de elementos
  4. DUma tabela hash com todos os elementos
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de E a A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

A · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81

Porque é esta a resposta

Com a = 7 e b = 2, nlog₂ 7 domina o trabalho O(n²) das adições, o que dá cerca de n2,81.

Resposta

D · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 4 5 2 3 1

Porque é esta a resposta

A pós-ordem processa 4 e 5 antes de 2, depois 3 e por fim a raiz 1.

Resposta

C · 4 5 2 3 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta

Porque é esta a resposta

Percorrendo da esquerda para a direita, desempilhe todo elemento menor que o atual (o atual é a resposta deles) e depois empilhe-o; cada elemento se move no máximo duas vezes.

Resposta

A · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vértices ímpares

C, D → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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