Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

  1. ANão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função
  2. BSim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
  3. CNão, porque n³ é menor que n² para n grande
  4. DSim, mas só se n for menor que 100
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. AFoi provado que P ≠ NP
  2. BNP significa "não polinomial"
  3. CTodo problema em P também está em NP
  4. DSoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. Ai + 1
  2. B2i + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. D(i + 1) mod n
4.Estruturas de dadosDifícil

Na BST com raiz 50, subárvore esquerda 30 (filhos 20, 40) e subárvore direita 70 (filhos 60, 80), a raiz é removida usando o sucessor em ordem. Qual chave se torna a nova raiz?

  1. A80
  2. B70
  3. C60
  4. D40
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 3 começam e terminam em B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

B · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

C · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: D · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

D · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: C · 60

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda da subárvore direita é 60, então 60 substitui 50 e sua posição antiga é removida; usar o predecessor daria 40.

Resposta

C · 60
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Mais um passo

(M³)BB = 1·1 + 3·0 + 2·1 + 1·0 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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