Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Você ordena um array de n elementos uma vez e depois responde a k consultas de pertinência com busca binária. Qual é o custo total?

  1. AO(n + k)
  2. BO(nk)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada para verificar se os parênteses em "{[()]}" estão balanceados?

  1. AUma pilha
  2. BUma tabela hash
  3. CUma fila
  4. DUma árvore binária de busca
4.Estruturas de dadosDifícil

O que uma splay tree faz depois de cada acesso?

  1. ARecolore os nós do caminho de busca
  2. BLeva o nó acessado até a raiz por rotações
  3. CReconstrói a árvore inteira na forma balanceada
  4. DMove o nó acessado para uma folha
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
2161481489ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n log n + k log n)

Porque é esta a resposta

Ordenar custa O(n log n) e cada consulta O(log n); isso supera k varreduras lineares (O(nk)) quando k é grande.

Resposta

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Θ(n log² n)

Porque é esta a resposta

O nível k faz cerca de n log(n / 2ᵏ) de trabalho, e somar sobre os log n níveis dá Θ(n log² n), o segundo caso estendido do teorema mestre.

Resposta

B · Θ(n log² n)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma pilha

Porque é esta a resposta

Empilhe cada símbolo de abertura e desempilhe quando aparecer um de fechamento; ele deve corresponder ao desempilhado e a pilha deve estar vazia no final.

Resposta

A · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Leva o nó acessado até a raiz por rotações

Porque é esta a resposta

O splaying move o nó acessado para a raiz por meio de rotações; uma única operação pode custar O(n), mas o custo amortizado é O(log n).

Resposta

B · Leva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vértices ímpares

D, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 19

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 2, C: 1
C (1): E: 15
B (2): D: 8, E: 11
D (8): F: 22
E (11): F: 19
F (19)

Caminho mais curto

A → B → E → F
d(F) = 19

Resposta

d(F) = 19

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