Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. AA árvore geradora mínima
  2. BCaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
  3. CCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
  4. DUma ordenação topológica em todos os grafos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual limite está correto para log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma trie (árvore de prefixos) é especialmente eficiente para:

  1. AOrdenar números
  2. BArmazenar matrizes
  3. CEncontrar caminhos mínimos
  4. DBuscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
  2. BOrdenar as arestas por peso
  3. CEscolher o vértice inicial
  4. DVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
115119139314ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

B · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Θ(n log n)

Porque é esta a resposta

log(n!) ≤ n log n, e os n / 2 maiores fatores dão log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); é por isso que a ordenação por comparação precisa de Ω(n log n).

Resposta

D · Θ(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático

Porque é esta a resposta

Tries armazenam strings caractere por caractere ao longo de caminhos, então buscas e consultas por prefixo levam tempo proporcional ao tamanho da chave.

Resposta

D · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 1, C: 15
2. B (1): C: 12, D: 10, E: 15
3. D (10): E: 13, F: 19
4. C (12)
5. E (13): F: 16
6. F (16)

rodada 3

D

Resposta

D

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