Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo amortizada de adicionar ao final de um array dinâmico que dobra sua capacidade quando fica cheio?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a diferença entre um problema indecidível e um intratável?

  1. AProblemas indecidíveis estão em NP, enquanto os intratáveis estão em P
  2. BProblemas intratáveis não podem ser resolvidos por nenhum algoritmo, enquanto os indecidíveis só exigem tempo exponencial
  3. CAmbos significam que o problema não tem nenhum algoritmo
  4. DNenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(log n), por causa da busca binária
  2. BO(1), porque o índice é conhecido
  3. CO(n²), porque cada elemento se move n vezes
  4. DO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
  2. BOrdena os filhos de cada nó por frequência
  3. CGuarda só a primeira letra de cada palavra
  4. DFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 23 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 23
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
109612121214102ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(1)

Porque é esta a resposta

A cópia de todos os elementos só acontece em potências de dois; distribuído entre todas as inserções, o custo médio por inserção é constante.

Resposta

B · O(1)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais

Porque é esta a resposta

O problema da parada não tem nenhum algoritmo; um problema NP-difícil como o TSP pode ser resolvido por força bruta, só que não em tempo polinomial conhecido.

Resposta

D · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

D · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

D · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 23 − 11 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 25

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 10
C (10): B: 19, E: 22
B (19): D: 25, G: 33
E (22): G: 24
G (24)
D (25): F: 37
F (37)

Caminho mais curto

A → C → B → D
d(D) = 25

Resposta

d(D) = 25

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