Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com uma tabela bottom-up?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

  1. ANão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
  2. BSim, portanto o limite inferior está errado
  3. CSim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
  4. DNão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
3.Estruturas de dadosMédia

Por que um heap binário pode ser armazenado em um array sem nenhum ponteiro?

  1. AÉ uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice
  2. BHeaps nunca têm mais de 100 elementos
  3. CTodas as chaves de um heap são iguais
  4. DArrays mantêm as chaves automaticamente em ordem, então não são necessários ponteiros
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
419153220714ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

Preencher a tabela de 0 a n custa uma adição por entrada, então o trabalho é linear em vez de exponencial.

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

A · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
3.Estruturas de dados

Resposta: A · É uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice

Porque é esta a resposta

Ser completa significa não ter lacunas, então os filhos do índice i estão sempre em 2i + 1 e 2i + 2.

Resposta

A · É uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

C · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

C, D → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 31

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DE (2): tomar
BD (3): tomar
AB (4): tomar
EF (7): tomar
BE (14): descartar, fecha um ciclo
BC (15): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 15 = 31

Resposta

W = 31

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