Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com uma tabela bottom-up?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que o teorema de Cook–Levin estabeleceu?

  1. ATodo problema NP pode ser resolvido em tempo exponencial
  2. BP é diferente de NP
  3. CO problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
  4. DO problema da parada é indecidível
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. AAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
  2. BBusca em tempo constante em todos os casos
  3. CQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
  4. DQue nenhum nó tenha dois filhos
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. APré-ordem e pós-ordem
  2. BSó o percurso por níveis
  3. CPré-ordem e em ordem
  4. DSó a pré-ordem
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 19 vértices e 27 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 19|E| = 27
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Preencher a tabela de 0 a n custa uma adição por entrada, então o trabalho é linear em vez de exponencial.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo

Porque é esta a resposta

Cook e Levin mostraram, de forma independente, que todo problema em NP se reduz ao SAT em tempo polinomial, então o SAT foi o primeiro problema NP-completo conhecido.

Resposta

C · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

A · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

C · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 9

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

19 − 1 = 18

Arestas a remover

k = 27 − 18 = 9

Resposta

k = 9
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Vizinhos comuns

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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