Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do algoritmo de Bellman–Ford num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca binária não dá tempo O(log n) numa lista simplesmente encadeada?

  1. AA busca binária precisa de pelo menos o dobro da memória
  2. BChegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
  3. CListas encadeadas não podem ser ordenadas
  4. DAs comparações entre nós de lista encadeada são mais lentas
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. A2
  2. B0,5
  3. C1
  4. DNão há máximo
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura permite calcular o máximo de cada janela de tamanho k em um array em O(n) no total?

  1. AUma lista simplesmente encadeada com os elementos da janela
  2. BUm deque com índices em ordem decrescente de valor
  3. CUm min-heap reconstruído para cada janela
  4. DUm array ordenado atualizado por deslocamento
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
17420147131031618155ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3; as arestas descartadas não contam.

k = 3
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta DF
  8. 8aresta EF
  9. 9aresta GB
  10. 10aresta GC
  11. 11aresta GD
  12. 12aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(V × E)

Porque é esta a resposta

Cada uma das V − 1 rodadas relaxa as E arestas, o que dá O(VE); em troca, ele lida com pesos de aresta negativos.

Resposta

D · O(V × E)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice

Porque é esta a resposta

A busca binária precisa de acesso O(1) ao meio; numa lista encadeada, andar até lá custa tempo linear, então o total é O(n).

Resposta

B · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

C · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Um deque com índices em ordem decrescente de valor

Porque é esta a resposta

A frente do deque é sempre o máximo da janela; cada índice entra e sai do deque uma vez, então o trabalho é linear.

Resposta

B · Um deque com índices em ordem decrescente de valor
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta GE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. EF (3)
2. AC (4)
3. GE (5)
4. CE (7)
5. DF (10)
6. BD (14)

número da aresta 3

GE

Resposta

aresta GE

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