Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como é classificado o problema do caixeiro-viajante?

  1. AA versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
  2. BA versão de decisão está em P, mas a versão de otimização é NP-completa
  3. CÉ indecidível
  4. DEstá em P, porque o algoritmo de Dijkstra o resolve visitando cada cidade uma única vez
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a complexidade de tempo da busca de uma chave em uma árvore binária de busca balanceada?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Estruturas de dadosDifícil

A estrutura union-find (conjuntos disjuntos) com união por posto e compressão de caminho tem custo amortizado por operação de:

  1. AO(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
  2. BExatamente O(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K7? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K7
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
8111121431415ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(log n)

Porque é esta a resposta

O problema cai pela metade a cada passo, com trabalho constante por passo, então há cerca de log₂ n passos.

Resposta

B · O(log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil

Porque é esta a resposta

"Existe um percurso de comprimento no máximo k?" é NP-completo; encontrar o percurso mais curto é NP-difícil, pois é pelo menos tão difícil quanto.

Resposta

A · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore balanceada tem altura de cerca de log₂ n, então uma busca segue um único caminho da raiz até uma folha.

Resposta

D · O(log n)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante

Porque é esta a resposta

Com as duas otimizações, as operações levam tempo amortizado O(α(n)); α(n) ≤ 4 para qualquer n realista.

Resposta

A · O(α(n)), a inversa da função de Ackermann, praticamente constante
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 360

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Resposta

H = 360
6.Teoria dos grafos

Resposta: G

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): C: 8
2. C (8): E: 19, G: 12
3. G (12): B: 13, D: 27
4. B (13): D: 24
5. E (19): D: 21, F: 22
6. D (21)
7. F (22)

rodada 3

G

Resposta

G

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