Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A complexidade de tempo do Fibonacci recursivo ingênuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) é:

  1. AConstante
  2. BLogarítmica
  3. CExponencial
  4. DLinear
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo para construir um heap binário a partir de n elementos não ordenados com o método bottom-up?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. ATodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  2. BAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
  3. CTodo nó é colorido de vermelho ou preto
  4. DAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Na BST com raiz 50, subárvore esquerda 30 (filhos 20, 40) e subárvore direita 70 (filhos 60, 80), a raiz é removida usando o sucessor em ordem. Qual chave se torna a nova raiz?

  1. A60
  2. B40
  3. C80
  4. D70
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 21 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 21
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
4119965121313ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Exponencial

Porque é esta a resposta

A árvore de chamadas cresce aproximadamente como φⁿ (cerca de 1,618ⁿ). A memoização reduz isso para O(n).

Resposta

C · Exponencial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Somar os custos de descida (sift-down) em todos os níveis resulta em uma série convergente, então o heapify roda em tempo linear.

Resposta

A · O(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

D · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · 60

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda da subárvore direita é 60, então 60 substitui 50 e sua posição antiga é removida; usar o predecessor daria 40.

Resposta

A · 60
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 21 − 11 = 10

Resposta

k = 10
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 28

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 4
B (4): G: 9
G (9): C: 21, D: 22, E: 22
C (21)
D (22): F: 31
E (22): F: 28
F (28)

Caminho mais curto

A → B → G → E → F
d(F) = 28

Resposta

d(F) = 28

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