Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
  2. BEla roda em tempo O(1)
  3. CO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  4. DEla retorna 0 automaticamente
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. An² = o(n)
  2. B2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  3. Cn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  4. Dn = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pós-ordem?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C5 4 3 2 1
  4. D4 5 2 3 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Como detectar se uma lista simplesmente encadeada contém um ciclo usando O(1) de memória extra?

  1. AOrdenar a lista e procurar duplicatas
  2. BContar os nós até a contagem passar do campo de tamanho da lista
  3. CMover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
  4. DGuardar cada nó visitado em um conjunto hash
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 5, 2 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
515149610539ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

A · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

D · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 4 5 2 3 1

Porque é esta a resposta

A pós-ordem processa 4 e 5 antes de 2, depois 3 e por fim a raiz 1.

Resposta

D · 4 5 2 3 1
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram

Porque é esta a resposta

No algoritmo de Floyd, se houver um ciclo, o ponteiro rápido acaba alcançando o lento; caso contrário, o ponteiro rápido chega a null.

Resposta

C · Mover um ponteiro um passo e outro dois passos e verificar se eles se encontram
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

Resposta

L = 11

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: F

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 6, D: 10, G: 10
3. C (6): E: 20, G: 9
4. G (9): E: 18
5. D (10): F: 16
6. F (16)
7. E (18)

rodada 6

F

Resposta

F

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