Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Num array ordenado, você procura dois elementos cuja soma seja um alvo movendo um ponteiro de cada extremidade para dentro. Qual é a complexidade de tempo?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para qual variante da mochila a regra gulosa "pegar os itens em ordem de valor por peso" sempre dá uma resposta ótima?

  1. ANenhuma das variantes
  2. BA mochila 0/1, em que os itens devem ser sempre levados inteiros
  3. CAs duas variantes
  4. DA mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada pela busca em profundidade (DFS) na versão iterativa?

  1. AUma pilha
  2. BUm heap
  3. CApenas uma tabela hash
  4. DUma fila
4.Estruturas de dadosDifícil

O algoritmo de Kahn para ordenação topológica remove repetidamente vértices com grau de entrada 0. Qual estrutura guarda esses vértices?

  1. AUma matriz de adjacência que registra quais vértices já foram removidos
  2. BUma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
  3. CUm max-heap ordenado pelo grau de saída
  4. DUma pilha com todas as arestas visitadas
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios de comprimento 2 vão de E a F? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Se a soma for pequena demais, o ponteiro da esquerda vai para a direita; se for grande demais, o da direita vai para a esquerda, então há no máximo n passos.

Resposta

A · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos

Porque é esta a resposta

Quando os itens podem ser divididos, a melhor razão primeiro é ótima; na mochila 0/1, um item de razão alta pode bloquear uma combinação melhor, então é preciso programação dinâmica.

Resposta

D · A mochila fracionária, em que os itens podem ser divididos
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma pilha

Porque é esta a resposta

A DFS explora o mais fundo possível, usando naturalmente uma pilha (ou a pilha de chamadas da recursão); a BFS usa uma fila.

Resposta

A · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0

Porque é esta a resposta

Os vértices prontos ficam numa fila; remover um diminui o grau de entrada dos vizinhos, e os que chegam a 0 são adicionados, o que dá tempo O(V + E).

Resposta

B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EF = 0·0 + 1·0 + 0·0 + 1·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Resposta

N = 1

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