Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de multiplicar duas matrizes n × n com o laço triplo padrão?

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da parada mostra que:

  1. ANenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
  2. BAlguns programas rodam mais rápido em computadores mais rápidos, então a parada depende do hardware
  3. CLaços devem ser evitados
  4. DTodo programa acaba parando
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. A√n
  2. Bn (ela vira uma lista encadeada)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é a principal vantagem de uma skip list em relação a uma lista encadeada ordenada?

  1. AEla armazena as chaves sem ordem
  2. BBusca em O(1) garantido, porque cada nó guarda um ponteiro para todos os outros nós
  3. CEla não usa memória extra
  4. DBusca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 17 vértices e 28 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 17|E| = 28
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n³)

Porque é esta a resposta

Há n² entradas e cada uma precisa de n multiplicações, o que dá n³ operações.

Resposta

B · O(n³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para

Porque é esta a resposta

Turing mostrou que o problema da parada é indecidível: supor que existe um decisor leva a uma contradição com um programa que faz o oposto.

Resposta

A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
3.Estruturas de dados

Resposta: B · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

B · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente

Porque é esta a resposta

Níveis aleatórios permitem que as buscas pulem muitos nós, resultando em tempo esperado O(log n) para busca, inserção e remoção.

Resposta

D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

17 − 1 = 16

Arestas a remover

k = 28 − 16 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vizinhos comuns

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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