Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de n / 2
  2. BCerca de √n
  3. CCerca de log₂ n
  4. DCerca de n
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Um problema é NP-completo se ele:

  1. AEstá fora de NP, mas é mais difícil que todos os problemas NP, como o problema da parada
  2. BEstá em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial
  3. CÉ impossível de resolver
  4. DPode ser resolvido em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. ATodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  2. BTodo nó é colorido de vermelho ou preto
  3. CAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  4. DAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade mantém toda árvore B perfeitamente balanceada?

  1. AAs chaves ficam armazenadas apenas na raiz
  2. BTodas as folhas estão na mesma profundidade
  3. CTodo nó tem exatamente dois filhos
  4. DCada nó armazena uma chave
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 12 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 12
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1019152175141ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

C · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Está em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Problemas NP-completos são os mais difíceis em NP; um algoritmo polinomial para um deles daria um para todo NP.

Resposta

B · Está em NP e todo problema NP se reduz a ele em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: C · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

C · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Todas as folhas estão na mesma profundidade

Porque é esta a resposta

Os nós se dividem para cima quando estão cheios e a árvore só fica mais alta quando a raiz se divide, então todas as folhas ficam sempre no mesmo nível.

Resposta

B · Todas as folhas estão na mesma profundidade
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 1

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 12 − 11 = 1

Resposta

k = 1
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 42

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BE (1): tomar
BD (2): tomar
DE (5): descartar, fecha um ciclo
AB (10): tomar
DF (14): tomar
BC (15): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 10 + 14 + 15 = 42

Resposta

W = 42

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